1 Wstęp Algebra Boole'a

Zaczniemy z jedną najbardziej podstawową rzeczą w informatyce. Na pewno słyszałeś/aś że komputery działają dzięki 0 i 1. To prawda, można powiedzieć że jedynka oznacza prąd, a zero jego brak.

Możemy powiedzieć, że jedynka to prawda, a zero - fałsz. Co możemy zrobić, mając tylko jedynki i zera? Możemy np wykonać operację AND. (zwraca prawdę, tylko jeżeli dwie wartości to prawda) Jest to iloczyn czyli mnożenie.

jak widać, AND zwróci prawdę, tylko kiedy dwie wartości są prawdą. (0*0 = 0, 1*0 = 0 , 0*1 = 0 ,1*1 = 1) Ta tabelka to tablica prawdy. A i B reprezentują zera i jedynki. W tabelkach prawdy mamy wszystkie możliwości.

Przykład użycia and w “programowaniu”

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
string login, haslo;
 
int main()
{
    cout << "Podaj login: ";
    cin >> login;
    cout << "Podaj haslo: ";
    cin >> haslo;
 
    if ((login=="admin")&&(haslo=="szarlotka")) // && to AND, jeśli dwa warunki będą spełnione, kod się wykona
    {
        cout<<"Udalo sie zalogowac!";
    }
    else
    {
        cout<<"nie udalo sie zalogowac!";
    }
 
    return 0;
}

Kolejną bardzo popularną operacją jest OR ( lub ) zwraca prawdę, gdy przynajmniej jeden z dwóch argumentów to prawda. Jest to suma (0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1).

Przykład użycia OR w “programowaniu”

# Sprawdzamy, czy podana liczba jest mniejsza od 5 lub większa od 10
liczba = 3
if liczba < 5 or liczba > 10:
    print("Liczba jest mniejsza od 5 lub większa od 10.")
else:
    print("Liczba znajduje się między 5 a 10.")

Operacja NOT czyli negacja po prostu odwraca wartość na przeciwną. Jest to działanie jednoargumentowe z angielskiego unary operation. Czyli przyjmuje tylko jeden argument. Jedynka staje się zerem, a zero jedynką.

Zacznijmy łączyć te operację. Przykład:

NOT(0 OR (1 AND 1))

Czy potrafisz powiedzieć jaka będzie wartość tego wyrażenia ?

Mamy tutaj nawiasy, tak jak w matematyce. Pokazują one nam “kolejność” działań.

Okej. z naszej tabeli wiemy że 1 AND 1 zwróci nam 1 czyli zostaje nam

NOT(0 OR 1)

0 OR 1 zwraca nam 1 czyli zostaje

NOT(1) - NOT(1) zwraca nam 0 .

a więc wartość wyrażenia NOT(0 OR (1 AND 1)) to 0

Wszystkie prawa pojawią się razem z wytłumaczeniem na innej stronie. Tutaj tylko taki wstęp.

W algebrze boola mamy pewne prawa,np prawo przemienności

(x AND Y) to to samo co (Y AND X) logiczne prawda ? Oba te wyrażenia zwrócą nam to samo.

np (1 AND 0) = 0 (0 AND 1) = 0 - to to samo

(X OR Y ) to to samo co (Y OR X) np (1 OR 0) = 1 (0 OR 1) = 1

Prawo łączności

(x AND (Y AND Z)) to to samo co ( (X AND Y) AND Z )

tak dla ujenoznacznienia, ponieważ dużo osób gubi się. Mamy literki X Y Z. każda z nich może być 1 albo 0. Dam tutaj przykład

w powyższym przykładzie zakładam że x = 1 y = 0 z = 1.

(1 AND (0 AND 1)) =

(1 AND 0) = 0

Wyszło nam 0, teraz z prawa łączności zamieniam “literki”

( (1 AND 0) AND 1) ) =

(0 AND 1) = 0 - wyszło to samo co wcześniej, czyli prawo łączności nie kłamie

Kolejne prawo łączności, którego nie będę udowadniać, ale możesz sam podstawić sobie coś pod x y z i zobaczyć, że wyjdzie to samo.

(X OR ( Y OR Z ) ) to to samo co ( (X OR Y ) OR Z )

W innych źródłach, prawa mogą być zapisane troszkę inaczej niż ja to zrobiłem. Uważam, że “mój” sposób jest czytelniejszy ale np prawo łączności można zapisać

(AB)C = A(BC)

( (X AND Y) AND Z ) to to samo co (x AND (Y AND Z))

Poprostu operacja AND to mnożenie więc można to zapisać jako mnożenie( w matematyce gdy między literami nie ma znaku, jest między nimi mnożenie)

To jakimi literkami sobie zdefiniujemy nasze zera i jedynki nie ma znaczenia oczywiście

W operacji OR mamy sumę więc zamiast pisać X OR Y możemy zapisać X + Y …

prawo rozdzielności

Abyś się przyzwyczaił podam tutaj dwie formy zapisu…

1 prawo rozdzielnosci

( X and ( Y OR Z ) ) = (X AND Y) OR (X AND Z)

( A ( B + C) = AB + AC

2 prawo rozdzielnosci

(X OR ( y AND z) ) = (x OR y) AND (X OR Z)

A + (BC) = (A + B) (A + C)

prawa De Morgana

- opisują wpływ negacji na pewne operacje

NOT(X AND Y) = NOT(x) OR NOT(Y)

NOT(X OR Y) = NOT(X) AND NOT(Y)

Możemy je wykorzystać do zmienienia formy wyrażenia, uproszczenia jej.

przykład

NOT( NOT( X ) AND NOT ( X OR Y ) )

możemy użyć prawa De morgana aby zamienić NOT(X OR Y ) na NOT(X) AND NOT(Y) więc:

NOT(NOT(X) AND (NOT(X) AND NOT(Y)))

następnie możemy użyć prawa łączności mamy więc:

NOT ( ( NOT( X ) AND NOT( X ) ) AND NOT(Y))

Następnie, nie zapisaliśmy tego “prawa”, ale mamy NOT(X) AND NOT(X). Skraca się to do jednego NOT(X). Możesz sobie to rozpisać i jest to prawda. Więc:

NOT(NOT(X) AND NOT(Y))

Znowu możemy użyć prawa De morgana

NOT( NOT( X ) ) OR NOT(NOT(Y))

Nie zapisaliśmy tego “prawa”, ale not not x zawsze da nam x. NOT(NOT(Y)) również da nam y Czyli wychodzi nam:

X OR Y

Ten przykład miał pokazać, że możemy różnie manipulować wyrażeniami algebry boole'a, upraszczać je itp.

bardziej ciekawostka.

Każda funkcja boola może być stworzona tylko za pomocą AND i NOT

przypomina nam się prawo de morgana

(X OR Y) = NOT(NOT(X) AND NOT(Y))

wyrażenie OR może być zaprezentowane przez operacje NOT I AND.

Czy możemy “zejść jeszcze niżej ??”

Oto NAND, czyli negacja AND

Dzięki samemu NAND, jesteśmy w stanie skonstruować wszystkie funkcję boola… jak ?

(X NAND Y) = NOT ( X AND Y )

wiemy że nand to negacja AND

Skoro dzięki, AND i NOT możemy zbudować każde wyrażenie boola, musimy wymyśleć jak zrobić NOT używając samego NAND

NOT (X) = (X NAND X)

prostę ? możesz spojrzeć na tablicę prawdy dla NAND i udowodnić sobie, że tak jest.

A jak z nand zrobić AND ?

(x AND y) = NOT(X NAND Y)

Skoro wiemy jak zrobić not z nand wychodzi nam:

(x and y) = (x nand x)(x NAND Y)

Jeśli chcielibyśmy zbudować komputer tylko z funkcji nand. Jest to możliwe…